几何中的射影是什么意思？如何理解仿射几何与射影几何的关系

本文目录

• 几何中的射影是什么意思
• 如何理解仿射几何与射影几何的关系
• 射影几何学的简况
• 射影几何的实际意义
• 射影几何学的内容
• 射影几何的概念
• 射影几何学的历史

几何中的射影是什么意思

从一点向一条直线或一个平面作垂线,所得的垂足就是这点在这条直线或着个平面上的射影；一条射影的连线叫做这条线段在这条直线或这个平面上的射影。射影是几何里的用语，射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何联系起来。

如何理解仿射几何与射影几何的关系

仿射几何是空间的点的几何,射影几何是给每一个直线添加无穷远点使得任何两条在同一平面上的直线都相交.仿射几何似乎比较直观,射影几何不太直观.很可惜,现代数学思想离不开射影几何的思想,不理解射影几何就不能理解现代数学的精神.仿射几何中的好几个定理在射影几何**别容易证明,为什么采用透视法就变得简单了呢,道理何在?设V是一个向量空间,V的仿射几何A(V)是V的所有陪集组成的集合,其仿射维数是V的维数.这里的陪集,即V的任意子空间的陪集.因此直观上说,V的仿射几何是由空间中所有的点、直线、面等等组成的：零维陪集称为点,一维陪集称为直线,二维陪集称为平面,维数比仿射维数少一的陪集称为超平面.因此,仿射几何中,直线不一定通过原点,平面也不一定通过原点,等等,特别的任何两个陪集可能不相交.与此相对应,V的射影几何P(V)是V的所有子空间组成的集合,其射影维数是V的维数减一.因此,射影点是仿射直线,射影直线是仿射平面,射影超平面是仿射维数比V少一的仿射超平面.因此,射影几何中,任意直线都相交在原点,任意平面都相交在原点,等等,特别的任何两个射影元素都在原点处相交.射影几何的这个定义跟习以为常的传统定义是等价的,由此把一个球面上的每对对径点粘起来就是一个射影平面,一个射影直线相当于把一个圆的每对对径点粘起来仍然是一个圆.等价性稍后进一步再解释.因此粗看起来,P(V)是A(V)的子集,但前者的射影维数比A(V)的仿射维数少一,不能在同一抽象空间里分别建立起来.设W是V的维数少一的子空间,因此W是P(V)中的射影超平面,也是A(V)中的通过原点的仿射超平面,则P(V)的射影维数和A(W)的仿射维数相等.特别的,W的任何一个与W平行而不重合的陪集为c+W,于是c+W是A(V)中不通过原点的超平面.现在,P(V)的射影维数和A(c+W)的仿射维数相等,A(W)和A(c+W)是A(V)的互相平行而不重合的仿射子几何.原来,存在仿射几何A(c+W)到射影几何P(V)的一个“自然”的嵌入!即存在一个单射,这个嵌入,就是由所谓透视法给出的.A(c+W)的像是P(V)中不含在W的任意射影元素,这个现象,有时也称为：P(V)与P(W)的差有一个“自然”的仿射结构,它同构于仿射几何A(c+W)从而也同构于仿射几何A(W)!这个仿射几何中,消失了的P(W)的射影点,就是所谓的“无穷远点”.因此仿射几何A(W)加上无穷远点集合P(W)就是一个射影集合P(V),前者的仿射维数等于后者的射影维数,因此在一个抽象空间里既配备了仿射结构又配备了射影结构.这个事实,同时解释了射影几何定义的等价性.在这个事实上,射影几何比仿射几何只多一点点,但却使得仿射定理在射影几何中变得简单了.这是因为仅仅考虑通过原点的子空间要比考虑可能甚至互不相交的陪集便利得多.关于P(V)与P(W)的差有一个“自然”的仿射结构,如果你能在三维空间情形建立这个现象,那么你就算是理解了仿射几何与射影几何.最后,这个对应,作为透视法的抽象,不仅仅是几何间的对应,也可以建立起线性映射间的对应,因此,这个对应是一个函子,是仿射几何范畴到射影几何范畴间的态射,你在仿射几何里考虑的事,可以对应到射影几何的情形；在射影几何里考虑的事,也可以对应到仿射几何的情形.这就是透视法的威力所在.把射影几何换成仿射几何,就可以发现任意一个仿射几何,都能作为不通过原点的超平面嵌入到一个所谓的泛空间：A(c+W)嵌入到A(V).这个嵌入,也可以建立起线性映射间的对应,于是也是一个函子,是仿射几何范畴到自身的态射.这个函子,就是射影几何观念建立前,透视法的抽象表示.之所以要引入泛空间,因为它还给了所谓的重心坐标一个“自然”的解释.我要学代数拓扑,不学射影几何可以不?恐怕不好,因为一方面射影几何的基本群也比较典型,射影平面的基本群就是Z2；另一方面紧致曲面的分类,就是以球面、环面和射影平面为基本构建.更何况如果将来要学代数几何,射影几何就更必须学.重心坐标的“自然”解释?因篇幅所限,建议读者去看贝尔热的《几何》第一卷.虽然这书是面向师范类,但仅第一节就很“自然”且抽象得令人发指,足以令井底之蛤蟆们认识到法国数学和我国数学的真正差距比起地球到天狼星的距离还要遥远

射影几何学的简况

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
迪沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。
帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。
不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。
施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。
另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接?蚪唷?882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。
射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。
把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

射影几何的实际意义

射影几何，是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。

也叫投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

射影几何学，亦称“近世几何”或“投影几何”，它是研究图形在射影变换下不变性质的学科。该学科在古典几何学中是最基础的、最广泛的和最自由的，同时，它还是公理化数学的典型一例，也可以说它是现代几何学的先驱。

射影几何学在航空、测量、绘图、摄影等方面有广泛的应用。

射影几何的广泛应用如下：

1、计算机图形学：射影几何在计算机图形学中有广泛的应用，可以将三维对象在二维空间中精确绘制。

2、天文学：天文学家将射影几何用于动态切面的模拟，可以预测天体的运动轨迹、行星变化等。

3、无线电通信：射影几何在几何光学中的应用，如雷达和无线电天线等设备的设计中。

4、理论物理学：广义相对论是射影几何在物理学中的应用。它是一种研究引力与时空相互作用的物理学理论。

5、计算机体图：射影几何在计算机视觉中的应用，包括MRI体保真度、医学图像处理等。

射影几何学的内容

概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学《 仿射几何学《 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来。
扩大空间和射影空间　在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得复杂。为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后的平面就叫做扩大平面。扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。
同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平）面。添上无穷远面后的空间叫做扩大空间，它也是闭的。在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点，而且平行平面交于一条无穷远直线，一条非无穷远直线和一个与它平行的平面交于一个无穷远点。
如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直线和射影平面。在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外，每两点总决定一条直线，每三个不共线点总决定一个平面，等等。

射影几何的概念

射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
1822年法国数学家彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。
概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上时，图形的不变性质的科学。

射影几何学的历史

射影几何的某些内容，公元前就发现了，但到19世纪上半叶才有短暂的突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。
射影几何的主要奠基人是 19世纪的J.-V.彭赛列。他是画法几何的创始人G.蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形（例如二次曲线和二次曲面）的方法，线素二次曲线概念也是他引进的(1832)。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，K.G.C.von施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系(1847)，进而令交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法并不完善，但却迈出了决定性的一步。
另一方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是A.F.麦比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等(1827)。接着，J.普吕克引进了另一种齐次坐标系，
把各种几何和变换群相联系的是F.克莱因，他在埃尔朗根纲领(1872)中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何,不能纳入这个分类法。后来□嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。